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调和级数是一个经典的数学级数，其定义为：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+...。虽然这个级数的每一项都是正的，但其和却可以无穷大，这种级数被称为发散级数。调和级数是一个无穷级数，其通项为1/n，其中n为自然数。每一项都是正的，但是调和级数的和可以无穷大，意味着调和级数不收敛到一个有限的值、调和级数的和没有一个明确的上界。因此，调和级数之所以发散，是因为其和可以无穷大。虽然调和级数的每一项都是正的，但是其和却没有一个明确的上界。
调和级数 an=1/n；发散。
证明方法如下：
一、即当p≤1p≤1时，有1np≥1n1np≥1n，调和级数是发散的，按照比较审敛法：?
若vnvn是发散的，在n>N,总有un≥vnun≥vn,则unun也是发散的。?
调和级数1n1n是发散的，那么p级数也是发散的。
二、当p>1时，证明的思路大概就是对于每一个整数，取一个邻域区间，使邻域区间间x∈[k,k?1]x∈[k,k?1]使得某个函数在[k,k?1][k,k?1]邻域区间内的积分小于1xp1xp在这个邻域区间的积分。
然后目的当然是通过积分求指数原函数解决问题。这个证明的比较函数取的很巧妙，令k1≤x≤kk1≤x≤k,那么1kp≤1xp1kp≤1xp。
利用比较审敛法的感觉，应该找一个比p级数的一般式大的收敛数列，证明p级数收敛。这个就有点反套路了。?
1kp=∫kk?11kpdx(这里是对x积分而不是k)≤∫kk?11xp1kp=∫k?1k1kpdx(这里是对x积分而不是k)≤∫k?1k1xp。
其中（k=2,3....）（k=2,3....）。
讨论级数和,用k的形式代表p级数，并且用一个大于它的函数来求得极限。?
sn=1+∑k=2n1kp（p级数）≤1+∑k=2n∫k?1k1xp=1+∫n11xpdxsn=1+∑k=2n1kp（p级数）≤1+∑k=2n∫kk?11xp=1+∫1n1xpdx。
这里利用积分区间的可加性:?
∫D1f(x)dx+∫D2f(x)dx=∫D1+D2f(x)dx。
1、级数
将数列 unun 的项 u1,u2,…,un,…u1,u2,…,un,…，依次用加号连接起来的函数。
数项级数的简称。如： u1+u2+…+un+…u1+u2+…+un+… ，简写为 ∑un∑un ， unun 称为级数的通项，记 Sn=∑unSn=∑un 称之为级数的部分和。
如果当 n→∞n→∞ 时 ，数列有极限，则说级数收敛，并以 SS 为其和，记为 ∑un=S∑un=S ；否则就说级数发散。
2、简单证明
基本手段-放缩
级数 n+1?√?n?√n+1?n 的敛散性：
∑n+1?√?n?√=∑1n+1?√+n?√>∑12n+1?√>∑12(n+1)，因此其是发散的。
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